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Valeurs absolues (2)

1) Résolvez l’inéquation\|x+4\| <= 1
l’intervalle solution est [-5; -3]	l’intervalle solution est [3, 5]	il n’y a pas de solution
l’intervalle solution est [-4 ; 1]
On a, d’après le cours, \|x – (-4)\|<=1 équivalent à x appartient à l’intervalle [ (-4)-1 ; (-4)+1], soit l’intervalle [-5 ; -3]

2) \|x\|<=1 est équivalent à …
x <= 1	–1 <= x <= 1	–1 <= x <= 0
0 <= x <= 1
voir le cours. Remarque : a) est fausse car l’inégalité est incomplète

3) Résolvez l’équation \|x+5\| = 1
l’ensemble des solutions est {-6 ;-4}	l’ensemble des solutions est {-4 ; 6}	il n’existe pas de solutions
l’ensemble des solutions est {-6, 4}
on pose X = x+5. On a alors \|X\| = 1 équivalent à X = 1 ou X = -1 équivalent à en remplaçant X par (x+5),on obtient alors x+5 = 1 ou x+5 = -1 équivalent à x = -4 ou x = -6

4) Ecrire x appartient à l’intervalle [-2 ;4] avec la notation valeur absolue
\|x - 1\| <=3	\|x+1\|<= -3	\|x - 3\|<= 1\|
\|x+3 \|<=-1
Il faut d’abord déterminer le centre et le rayon de l’intervalle [-2 ; 4] Le rayon est (4– (-2)) / 2 = 3. Le centre de l’intervalle est ((-4)+2) / 2 = 1 On peut maintenant écrire l’intervalle [-2 ; 4] sous la forme [1-3 ; 1+3] Or si r est un réel positif \|x - a\| <= r équivaut à x appartient à [a – r ; a+r] Donc x appartenant à [1-3 ; 1+3] équivaut à \|x - 3\| <=1

5) Les questions 5 et 6 concernent l’énoncé suivant :
[ -1 ; 1]	[1 ; 3]	[-3 ; -1]
[-3 ; 3]
D’après la méthode décrite à la question 1 on trouve que I = [-3 ; 1]

6) Si x appartient à I, alors \|x\|<=4 ?
oui	non	on ne peut pas répondre
D’après le cours \|x\|<=4 équivaut à -4 <= x <= 4. Or, l’intervalle I est inclus dans [-4 ; 4], donc la réponse est bien positive.

7) A est une valeur approchée de 1/3 à 10-4 près, ce qui signifie que ….
\|1/3 – 10-4\| <= A	\|1/3 - A\| <= 10-4	\|A – 1/3\| <= 10-4
\|A – 1/3\| < 10-4
voir le cours. Remarque : la réponse d) est fausse car ici aussi, il faut bien respecter les inégalités strictes et larges.

8) Les questions 8 à 10 concernent l’énoncé suivant
–2,5 <= x <= 2,5	1,5 <= x <= 2,5	–1,5 <= x <= 2,5
–1,5 <= x <= 0,5
voir la question 10

9) Donnez un encadrement de y
–0,2 <= y <= 0,8	–0,8 <= y <= 1,2	0 <= y <= 0,2
–1,2 <= y <= 0,8
voir la question 10

10) Donnez un encadrement de x – y
-2,3 <= x - y <= 3,7	-3,7 <= x - y <= 3,3	–2,7 <= x - y <= 3,3
on ne peut pas le calculer
c) pour la question 8 (même méthode que la question 11) b) pour la question 9 (voir la question précédente) c) ATTENTION ! ! ! ! on ne peut soustraire une inégalité à une autre, on ne peut que les a additionner. Pour cela, il est obligatoire de passer par une étape intermédiaire, afin de pouvoir ensuite sommer deux inégalités. On a : -1,2 <= -y <= 0,8 d’où, -1,5+(-1,2) <= x+(-y) <= 2,5+(0,8) soit -2,7 <= x – y <= 3,3 voir la fiche de cours «inégalités, inéquations et approximations »

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4) Ecrire x appartient à l’intervalle [-2 ;4] avec la notation valeur absolue
\|x - 1\| <=3	\|x+1\|<= -3	\|x - 3\|<= 1\|
\|x+3 \|<=-1
Il faut d’abord déterminer le centre et le rayon de l’intervalle [-2 ; 4] Le rayon est (4– (-2)) / 2 = 3. Le centre de l’intervalle est ((-4)+2) / 2 = 1 On peut maintenant écrire l’intervalle [-2 ; 4] sous la forme [1-3 ; 1+3] Or si r est un réel positif \|x - a\| <= r équivaut à x appartient à [a – r ; a+r] Donc x appartenant à [1-3 ; 1+3] équivaut à \|x - 3\| <=1

7) A est une valeur approchée de 1/3 à 10-4 près, ce qui signifie que ….
\|1/3 – 10-4\| <= A	\|1/3 - A\| <= 10-4	\|A – 1/3\| <= 10-4
\|A – 1/3\| < 10-4
voir le cours. Remarque : la réponse d) est fausse car ici aussi, il faut bien respecter les inégalités strictes et larges.

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