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Valeurs absolues (1)

1) Ecrire sans la notation valeur absolue : \|V3 – 3\|
V3+3	3 – V3	V3 – 3
–V3 – 3
3 >V3, donc 3 – V3 > 0

2) Ecrire sans la notation valeur absolue :\|V2\|+\|-V3\|
V2+V3	V2 – V3	V3 – V2
–(V2+V3)
\|V2\| = V2 (V2 > 0) et \|-V3\| = V3 (c’est la distance de 0 à V3)

3) Ecrire sans la notation valeur absolue : \|x - 3\|
x – 3	x+3	(x – 3) si x>=3 et (3 – x) si x<3
(x+3) si x >= -3 et (-x-3) si x<3
pour x>=3, (x-3)>=0 et pour x<3, (3-x)>0

4) Simplifiez l'expression proposée : 3x - 2\|x\|
x	5x	x pour x>=2 et 5x pour x<2
x pour x>=0 et 5x pour x<0
\|x\| = x pour x>=0 donc pour x>=0, 3x - 2\|x\| = 3x – 2x = x \|x\| = -x pour x<=0 donc pour x<=0, 3x - 2\|x\| = 3x – 2 (-x) = 5x

5) Simplifiez l'expression suivante : V(x²) / x, pour x différent de 0
x	1 pour x>=0 et –1 pour x<0	x pour x>=0 et –x pour x<0
1
pour tout x, V(x²) = \|x\|, donc pour x>=0 \|x\| = x et ainsi V(x²) / x = x /x = 1 Pour x<0 \|x\| = -x et ainsi V(x²)/x = -x/ x = -1

6) Pour tout nombre x et y, à quoi est égal \|xy\| ?
xy	–\|xy\|	\|x\|\|y\|
-\|x\|\|y\|
voir le cours «valeur absolue d’un produit»

7) Complétez l’inégalité suivante : pour tout nombre x et y, \| x+y\| <= …
\|x - y\|	\|x\|+\|y\|	x+y
\|x\| - \|y\|
voir le cours «inégalité triangulaire»

8) a étant un nombre positif et x un nombre quelconque, \|x\| >a équivalent à (est équivalent à) …
x < -a et x > a	x <= -a et x > a	–a < x < a
x < a et x >= a
voir le cours. Remarque : les réponses b) et d) sont fausses car il faut bien respecter les inégalités strictes (< et >) et larges (<= et >=)

9) \|-4x\| est toujours égal à ….
4x	– 4x	-4\|x\|
4\|x\|
\|-4x\| = 4\|-x\| et pour tout x \|-x\| = \|x\|. remarque : la bonne réponse aurait pu être également 4\|-x\|

10) \| x - 7\| est toujours inférieur à …
x+7	x – 7	\|x\| - 7
\|x\|+7
d’après le cours, on a pour tout nombre x et y, \|x - y\| <= \|x\|+\|y\| donc \|x - 7\| <= \|x\|+\|7\| = \|x\|+7

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6) Pour tout nombre x et y, à quoi est égal \|xy\| ?
xy	–\|xy\|	\|x\|\|y\|
-\|x\|\|y\|
voir le cours «valeur absolue d’un produit»

7) Complétez l’inégalité suivante : pour tout nombre x et y, \| x+y\| <= …
\|x - y\|	\|x\|+\|y\|	x+y
\|x\| - \|y\|
voir le cours «inégalité triangulaire»

9) \|-4x\| est toujours égal à ….
4x	– 4x	-4\|x\|
4\|x\|
\|-4x\| = 4\|-x\| et pour tout x \|-x\| = \|x\|. remarque : la bonne réponse aurait pu être également 4\|-x\|

10) \| x - 7\| est toujours inférieur à …
x+7	x – 7	\|x\| - 7
\|x\|+7
d’après le cours, on a pour tout nombre x et y, \|x - y\| <= \|x\|+\|y\| donc \|x - 7\| <= \|x\|+\|7\| = \|x\|+7

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