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Produit scalaire

1) Soient A(3;2) B(-1;4) C(1;-2) et D(9;4). (AD) et (BC) sont …
parallèles	sécantes	de même norme
perpendiculaires
On passe par les vecteurs. Il est clair qu’ un vecteur directeur de (AD) est AD et de (BC) est BC. Or on a AD(9-3;4-2) soit AD(6;2). Et on a BC(1-(-1);-2-4) donc BC(2;-6). Calculons le produit scalaire : AD.BC =6.2-6.2=12-12=0 Donc les 2 vecteurs sont orthogonaux et donc (AD) et (BC) sont perpendiculaires, et sécantes bien sûr… Attention, une droite n’a pas de norme, on ne parle de norme que pour les vecteurs.

2) …et le triangle (ABC) est…
isocèle en A	équilatéral	rectangle en un point à déterminer
quelconque
Ici on est obligé de calculer les distances AB, BC et AC; ainsi AB²=(-1-3)²+(4-2)²=16+4=20 donc AB=2.V5 AC²=(1-3)²+(-2-2)²=4+16=20 donc AC = 2.V5 BC²=(1-(-1))²+(-2-4)²=4+36=40 donc BC=2.V10 Il est clair que ABC est isocèle en A. D’autre part, s’il est rectangle, ce ne peut être qu’en A puisque il est isocèle en A, ce qui se traduit par l’égalité entre les angles ABC et ACB : ils ne peuvent être de 90° chacun ! ! ! On peut voir s’il est rectangle en A en effectuant le produit scalaire AB.AC. Or AB(-4;2) et AC(-2;-4) donc AB.AC =-4.(-2) +2.(-4)=8-8=0 donc ABC est rectangle en A.

3) ABCD rectangle de centre I avec AB=x et BC=y. On a 2 BC.DI =… ?
½ xy	y²	–y²
– 2yV(x²+y²)/2.V2/2
En effet, il faut faire une figure et tout devient plus clair : on peut projeter orthogonalement DI sur BC et on voit que sa norme vaut ½ y; d’autre part, on voit que les vecteurs sont en sens contraires, ce qui se traduit par un produit scalaire négatif. La norme de BC étant y, on a donc 2BC.DI = 2.-1.y. ½ y =-y².

4) Si \|\|u\|\|=3 et \|\|v\|\|=2 et u.v = -3.V3 Quelle est une mesure en radians de AOB, si OA=u et OB=v ?
pi/6 rad	pi/4 rad	–pi/3 rad
–5pi/6 rad
Il faut utiliser le théorème cos(u,v)=u.v/\|\|u\|\|.\|\|v\|\| Donc cos(u,v)=-3.V3/6=-V3/2 d’où l’angle AOB= -5pi/6 (2pi) (ou 5pi/6 si le choix était proposé : pour une valeur de cosinus il y a deux valeurs d’angles possibles)

5) u et v ont pour normes respectives 3 et 4 et pour produit scalaire –6. Combien vaut (1/3u + v)²- (1/3u - v)² ?
0	-8	5
8
Dans ce cas, l’énoncé est trompeur : l’astuce est de ne surtout pas développer !!! Il faut reconnaître l’identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b). Ici on a (1/3u +v )²- (1/3u -v ) ² =2/3u.2v =4/3u.v =4/3 *(-6)=-8

6) ABCD est un carré de centre O de côté a. M,N,P,Q sont des points de l’ensemble {A,B,C,D,O}. Combien y a t-il de valeurs possibles pour le produit scalaire MN.PQ ?
3	5	7
9
Dans ce cas il est indispensable de faire un dessin pour se rendre compte de ce qui se passe : on va en fait essayer d’imaginer les différentes situations envisageables et celles qui mènent aux mêmes résultats. Il y a 5 possibilités : MN.PQ=0 si trois ou quatre points sont confondus (par exemple si M=A, N=A,P=O et Q=A) ou si les vecteurs sont orthogonaux (par exemple si M=A, N=B,P=C et Q=B.) MN.PQ=a² si les vecteurs MN et PQ sont égaux, et égaux à un des côtés du carré (par exemple si M=B, N=C,P=A et Q=D) MN.PQ =-a² si on a MN=- PQ et que MN correspond à un des côtés du carré (par exemple si M=B, N=A,P=D et Q=C) MN.PQ = a²/2 dans le cas où les vecteurs sont de même sens et (MN) et (PQ) sont parallèles entre elles et parallèles à une des diagonales du carré (par exemple si M=A, N=O,P=O et Q=C) mais c’est le même résultat dans le cas où les vecteurs s

7) soit u(m-4;2m+1) et v (2m;3-m). Que vaut m réel pour que u et v soient orthogonaux ?
aucun réel ne convient	m=8/3	m=1
m=0
Pour cela, il faut appliquer la formule concernant deux vecteurs orthogonaux; ici on a (m-4).2m+(2m+1).(3-m)=0 donc 2m²-8m+6m+3-2m²-m=0 donc –3m+3=0 donc m=1.

8) Donner l’équation du cercle C de diamètre [AB] avec A(4;-1) B(2;3).
x²+y²=6x+2y-5	(x-3)+(y-1)=racine de 5	x²+y²=5
(x-3)²+(y-1)²=5
Effectuons un rappel de la manière dont on calcule une équation de cercle : dans le cas où l’on nous donne un diamètre [AB], soit O le milieu de [AB] que l’on calcule par les coordonnées. Ici O((4+2)/2; (-1+3)/2) donc O(3;1) on peut ensuite calculer le rayon, par exemple [CA] : on utilise pour cela les formules sur les distances. OA²=(4-3)²+(-1-1)²=1+4=5 donc OA=V5. ensuite on calcule l’équation du cercle C(O; OA). Dans le cas général : M(x;y) appartient à C(O;R) soit OM=R d’où l’équation… Ici on obtient OM²=R² soit (x-3)²+(y-1)²=5 soit x²+9-6x+y²+1-2y=5 soit x²+y²= 6x+2y-5

9) Déterminer les lignes de niveau de (AM+BM).AB = 0 où A et B sont fixés.
Un cercle de diamètre [AB]	Le milieu de [AB]	La médiatrice de [AB]
La médiane de [AB]
Soit H={M appartenant à P/AM+BM.AB=0} M dans H équivalent à AM+BM.AB=0 soit 2 IM.AB=0 avec I milieu de [AB] Or les points M vérifiant IM.AB=0 sont ceux de la médiatrice de [AB] car la médiatrice est orthogonale à [AB]. Le produit scalaire IM.AB=0 est donc nul.

10) Déterminer les lignes de niveau de (MA-2MB).(2MA+MC) = 0 où A,B et C sont fixés.
Une droite ( à préciser)	Un cercle (idem)	Un point (idem)
L’ensemble vide
Soit H={M appartenant à P/ MA-2MB).(2MA+MC=0} M est dans H équivaut à MA-2MB).(2MA+MC=0 soit -MG.3MG’=0 avec G barycentre de (A;1) (B; -2) et G’ barycentre de (A; 2) (C;1) soit GM.G’M=0 soit M appartient au cercle de diamètre [GG’] H est donc un cercle de diamètre [GG’], le cercle et le rayon se déduisent en général à partir de la méthode exposée ci-dessus : ici on utilise la propriété du cercle selon laquelle en prenant un point A et un diamètre [BC] d’un cercle quelconque, on a l’orthogonalité de (AB) et de (AC).

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