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Problèmes du second degré

1)


On met 3 en facteur : f(x) = 3 (x²+4/3x-1/3) f(x) = 3 {(x+4/6)²-16/36-1/3} f(x) = 3 { (x+4/6)²-7/9}

2) Existe-t-il une valeur du réel a pour laquelle le polynôme f(x)=x²+ax+3 admet 2 comme racine ? Si oui, précisez la valeur de l’autre racine.
a n'existe pas	a=1 et x’=1	a=3 et x’ = 0
a= -7/2 et x’=3/2
On sait que S=-b/a et P= c/a. On suppose que le problème admet une solution et notons x’ la seconde racine de f. Donc ici S= x’+2= -a et P = 2x’ = 3 soit x’=3/2 Donc on obtient a= -x-2= -2-(3/2)= -(7/2) Le problème admet donc une solution pour a = -7/2 et x’ =3/2

3)


On calcule la valeur du discriminant de l’équation : delta = 49 - 4.3.(-6) = 121 = 11² L’équation admet donc deux racines réelles distinctes qui sont : x’= (7+11)/6=3 et x’’=(7-11)/6=- (2/3) D’où S= { -2/3;3}

4) Résoudre dans IR x²+5x-6 = 0
S= { -6; 1 }	S= { 1; 6 }	S= { -6; -1}
S= { -6; 0 }
Comme 1+5-6 = 0, on constate que 1 est une racine évidente de l’équation. Pour déterminer la seconde racine de l’équation, On utilise le produit des deux racines P=c/a=-6 donc x’.x’’= - 6 or x’ = 1, on en déduit donc que x’’= - 6. D’où S= { -6; 1 }

5)


On utilise les formules du produit et de la somme des racines du trinôme. Soit x’ et x’’ les deux racines réelles distinctes du trinôme. P= x’.x’’= V10 et S = x’+x’’=-V2-V5 On remarque que(-V2).(-V5)=V10 On peut donc en conclure que S = { -V2;-V5}

6)


On calcule le discriminant, puis les racines. On peut ensuite factoriser par (x-x’).(x-x’’)

7)

8) Résoudre (x²+x-1)²-6(x²+x-2) -1 = 0
S= {1;5}	S= {-3;-2;-1;2}	S= {-3;-2;1;2}
S= {-3;-2;1}

9)


Le discriminant de ce trinôme est delta =9-4.(-5)=29 Cette équation admet donc deux racines réelles distinctes qui sont x’= (-3+V29)/2 et x’’= (-3-V29)/2 Comme le coefficient de x² est 1, il est positif et f est positive à l’extérieur de ses racines, on peut donc en conclure la solution.

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