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Les transformations

1)


Soit H la symétrie centrale de centre O ( c'est un cas particulier d’ homothétie ). O est le centre du rectangle donc il est clair que OA=-OC. L’image de A par H est donc C. De même l’ image de B par H sera D.L’image du vecteur AB est donc le vecteur CD. Or une homothétie conserve les milieux donc l’image du milieu de [AB] sera le milieu de [CD]. Autrement dit, l’image de I par H est K. De même, l’image du vecteur AD est le vecteur BC ; le milieu est conservé donc l’image de J par H est L. On en déduit que l’image du vecteur IJ par H symétrie de centre O est KL. Donc (IJ)//(KL) et IJ= KL. Cela prouve que IJKL est un parallélogramme. De plus, les diagonales de IJKL sont (IK) et (JL). Comme AIKD et BCKI sont des rectangles, on a (AJ)//(IK)//(BL) et (AJ)^(AI). Donc (IK) ^(AB). Par le même raisonnement avec le rectangle ABLJ, on peut dire que (AB)//(JL). En conclusion, (IK) ^(JL). Les diagonales d’un parallélogramme étant perpendiculaires, cela signifie que c’est

2) Pour transformer (ABCD) en (MQPN), il faut …
une rotation	une homothétie	une translation
une réflexion
Il est assez simple de répondre à cette question : en effet, un rectangle est transformé en un rectangle plus petit ; or les transformations sont toutes des isométries à l’exception des homothéties ; il nous reste plus qu’ à déterminer quel pourrait être le centre de l’homothétie. Or l’homothétie de centre O et de rapport OM/OA est la transformation adéquate.

3) L‘image de K par le ¼ de tour indirect de centre O est …
C	D	J
Un point n’étant pas sur la figure
En effet, si ce point était noté E, on aurait OE=OK.Or on a bien angle(OK,OJ)= -pi/2 mais on n’ a pas OK= OJ ( ABCD n’est pas un carré );donc le point E se trouverait sur la droite (OJ) mais n’existe pas sur notre figure.

4) L’ homothétie de centre O et de rapport (-1) transforme Q en…
B	J	N
D
On a admis que MNPQ est un rectangle de centre O. On a donc clairement O milieu de [NQ] ce qui se traduit par OQ=-ON. Donc N est l’image de Q par cette homothétie.

5) L’homothétie de centre P et de rapport (-1/2) transforme M en …
A	C	O
Q
On sait que O est le centre du rectangle ABCD et aussi du losange IJKL ;Par des relations de parallélisme et de perpendicularité, on peut aboutir à la conclusion que OKCL est un rectangle ( car OL=KC, OK=LC et (LC) perpendiculaire à (CK)).

6) Pour passer de I à K, il faut
une rotation	une homothétie	une réflexion
une translation
En effet O est le centre du losange IJKL donc le milieu de [IK]. ainsi on peut écrire que OI=-OK. Cela correspond à une homothétie de centre O et de rapport (-1). On a OI= OK et O,I,K alignés donc (OI, OK)=pi/2. La rotation de centre O et d’angle pi/2 transforme donc I en K. Il est donc clair que (IK) perpendculaire à (JL) et comme O est le milieu de [IK], cela signifie que (JL) est la médiatrice de [IK]. Donc la réflexion d’axe (JL) transforme I en K. Enfin, AD=KI donc la translation de vecteur AD transforme I en K.

7)


O est le centre du losange IJKL et donc le milieu de [JL]. De plus, on sait que (AB)//(JL) et (AB) perpendiculaire à (IK), ainsi que (JL) perpendiculaire à (IK) ; cela prouve donc que (IK) est la médiatrice de [JL]. Et donc que L est l’ image de J par l’axe (IK). De plus, I est le milieu de [AB] et (IK) perpendiculaire à (AB). Donc (IK) est la médiatrice de [AB] donc B est l’image de A par (IK). Ainsi l’image de AJ par rapport à l’axe (IK) est BL.

8) Pour passer de P à D, en utilisant seulement des transformations liées à la figure, il faut …
la composée d’une rotation et d’ une homothétie	une translation	la composée de deux réflexions
une rotation et une translation
Il est clair que pour passer d’un point à un autre, il existe toujours une translation, ici tout simplement la translation de vecteur PD transforme P en D. On peut donc également composer une rotation et une translation ; ici on peut imaginer une rotation de centre O d’angle -pi/2 qui transforme P en N puis N en D par une translation de vecteur BQ (par exemple …) On peut également composer une rotation et une homothétie : la rotation « va nous permettre d’aligner les points » puis l’homothétie va ajuster les distances ; par exemple la rotation de centre O et d’ angle pi/2 transforme P en Q puis l’homothétie de centre O et de rapport (- ½) transforme Q en D. Par contre, la composée de deux réflexions est une rotation ou une translation si les 2 axes sont parallèles. Or une simple rotation ne peut transformer Q en D, et il n’y a pas 2 axes parallèles qui, composés, fourniraient une translation adéquate.

9) Si deux droites D et delta sont perpendiculaires, on peut transformer D en delta par une …
rotation	translation	réflexion
homothétie
Pour transformer D en delta, il est clair qu’une rotation de centre O et d’angle pi/2 ( ou – pi/2 selon la configuration) peut convenir. On peut aussi définir une droite D’ qui passe par O et formant un angle de pi/4 avec chacune des deux droites. La réflexion d’axe D’ transforme D en delta.

10)

on a la relation AC=3/4AB donc AC=3/4AC+3/4CB donc 1/4AC=3/4CB donc AC=3CB ou CA=-3CB ce qui rappelle une homothétie de centre C et de rapport (–3).

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