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Les suites numériques

1)


La suite est bien définie par la donnée du premier terme u0 et par l’expression de un+1 en fonction de un. On calcule les premiers termes de la suite : u1 = 2u0+3= 2.(-1)+3=1 u2 = 2u1+3 =2.1+3 = 5 u3 = 13 u4= 29 u5=61 … On calcule un+1-un et on trouve : u1- u0 = 2 u2- u1 = 2² u3 - u2 = 2³ un+1-un = 2 un+3 - un = un+3 = 2n+1 On peut donc proposer la formule suivante : un = 2n+1 –3. Démonstration de cette relation par récurrence. -On sait que u0 = -1. La formule proposée donne u0 = 21-3=-1.Elle est donc vraie au rang n=0. -On suppose que cette formule est vraie au rang n, n étant un entier fixé. On démontre que la formule est vraie au rang (n+1) en appliquant la formule de définition : un+1 = 2 un+3=2( 2n+1 –3)+3=2n+2-6+3=2n+2-3. On a donc un+1=2n+2-3. Il s’agit de la formule proposée écrite au rang (n+1). -La formule est donc héréditair

2)

3) Soit la suite définie par : {u 0=1 {un+1 = (2/3) u n -1 Cette suite est elle arithmétique ? Si oui, préciser sa raison r.
r = 2	r = 0	r = 1
ce n’est pas une suite arithmétique.
Calculons u1 : u1=2/3u0-1=2/3-1=-1/3 On calcule alors u1- u0 : u1-u0=-1/3-1=-4/3 De même, on calcule u2 : u2=-11/9 On calcule alors u2 - u1=-8/9 Ainsi, comme u2 - u1 est différent de u1- u0, la suite (un) n’est pas arithmétique.

4) Soit (un) une suite arithmétique. Elle est définie par : {u3 = 5 {S4 = u0+u1+u2+u3+u4 =15 Déterminer la raison r de cette suite et son premier terme.
r =2 et u0 = 0.	r = 1 et u0 = -1.	r = 0 et u0 = -1.
r = 2 et u0 = -1.
D’après la formule du cours, S4 = 5(u0+u4 )/2 =15 Or u3 = u0+3r et u4 = u0+4r On a alors (u0+u4 )/2=3 équivalent à u0+u4 = 3 équivalent à u4 = 6 - u0 Or u4 = u0+4r = 6 - u0 On obtient donc : {2 u0+4r =6 {u0+3r =5 Soit 2u0+4r -2u0 -6r =6-10 équivalent à -2r=-4 équivalent à r =2 Ainsi on peut calculer le premier terme de la suite : u0 = 5-3r = -1. Finalement, r =2 et u0 = -1.

5) Soit la suite définie par : un = -4.(3/2)^(n+1) Cette suite est-elle géométrique ? Si oui, quelle est sa raison q ?
q=3/2.	q=1/2.	q=3.
La suite n’est pas géométrique.
Il suffit de calculer un+1 en fonction de un

6)


La suite est une suite géométrique de raison différente de 1, donc on peut appliquer la formule connue sur la somme des termes d'une suite géométrique.

7) Soit (un) une suite géométrique définie par : { u0 = 1 { q= 2 {Sn = 15 Déterminer pour quel entier n on a Sn = 15.
n = 3.	n = 2.	n = -3.
n = 0.
On a par définition (comme la raison est différente de 1) : Sn = u0.((1-qn+1)/(1-q))= 15 Or u0 = 1 donc, on a (1- qn+1) = 15 (1-q) équivalent à qn+1 = 1-15(1-2) = 1-15.(-1)=16 soit 2 n+1 =16 Et cette égalité est vraie pour (n+1)= 4 soit n = 3.

8) Soit la suite (u n ) définie par : u n = (3^n-5^n)/(3^n+5^n) Déterminer la limite de cette suite.
lim u n = 1	lim u n = -1	lim u n = 0
lim u n =+inf
On met en facteur le terme de plus haut degré (5^n) et on obtient : un = ((3/5)^n-1)/((3/5)^n+1) Or lim (3/5)^n=0 Soit lim un = -1

9) Soit la suite (u n ) définie par : {u0= 1/3 {un+1= 2/3un Déterminer la limite de Sn, suite des sommes partielles des termes de u.
lim Sn = 1.	lim Sn =+inf.	lim Sn = -inf.
lim Sn = -1.
Comme cette suite est une suite géométrique et que sa raison est différente de 1, on applique la formule du cours pour calculer Sn.

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