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Les fonctions usuelles (2)

1) Déterminer l'ensemble des réels x vérifiant l'inégalité : ¼ <= 1/x <= ½
[1/2 ; ¼]	[2 ; 4]	[-4 ; -2]
[-2 ; 4 ]
¼ <= 1/x <= ½ équivalent à 2 <= x <= 4 (on inverse le sens d’une inégalité quand on passe à l’inverse)

2) Déterminer l'ensemble des réels vérifiant l'inégalité : 2 <= \|x\|<= 6
[2 ; 6]	[-6 ; -2]	[-6 ; -2] et [2 ; 6]
[-6 ; 6]

3) Quel est le sens de variation de la fonction carrée sur l’intervalle [0 ;+inf[ ?
f est croissante	f est décroissante puis décroissante	f est constante
f est décroissante
voir la fiche de cours «fonctions usuelles»

4) Quel est le sens de variation de la fonction racine carrée sur ]-inf ; 0] ?
f est croissante	f est décroissante	f est constante
aucune des trois réponses précédentes
La fonction racine carrée n’est pas définie sur ]-inf ; 0]

5) Quel est le sens de variation de la fonction valeur absolue sur ]-inf ; 0] et sur ]0 ;+inf[ ?
f est décroissante puis croissante	f est croissante sur ces deux intervalles	f est croissante puis décroissante
aucune des trois réponses précédentes
voir fiche de cours sur les fonctions usuelles

6) x² est supérieur à x …
lorsque x >= 1	lorsque x >= 0	quelque soit la valeur prise par x
lorsque x <= 1
en effet x² >= x équivalent à x² - x >= 0 équivalent à x (x – 1) >= 0 équivalent à x >= 0 et x >= 1 équivalent à x >= 1

7) Vx est supérieur à x ….
lorsque x >= 1	lorsque x <= 1	lorsque x >= 0
dans aucun cas.
En effet, pour tout x positif, Vx >= x équivalent à Vx – x >= 0 équivalent à Vx (1 – x) >= 0 équivalent à 1 – x >= 0 (car, par définition Vx >= 0) équivalent à x <= 1

8) Si x < y alors x² < y². Cette propriété est vraie …
si x >= 0 et y >= 0	si x >= 0 ou y >= 0	Quelles que soient les valeurs prises par x et y
Si x <= 0 et y >= 0
a) car, par exemple, -3 < 2 et (-3)² > 2²

9) Les questions 9 et 10 se reportent à l’énoncé suivant : soit f une fonction définie sur [-5;5] par f(x)=1-1/(x²+1). f est pair, décroissante sur [-5;0[ et croissante sur [0;5]. Combien de maximum(s) f admet-elle sur cet intervalle ?
0	1	2
3
Remarque préliminaire : la question est surprenante dans la mesure où si f admet plus de deux maximums sur un intervalle, c’est que l’un des deux n’en est pas un (! !), SAUF si plusieurs maximums ont la même valeur. Sur [0 ; 5] f est croissante donc elle atteint son maximum pour x = 5. f a donc déjà 1 maximum. Or comme f est également paire, on a f(-x) = f(x), pour tout x de [-5 ; 5] donc on en conclut que f possède un second maximum qui est atteint pour x = 5.

10) L’équation f(x) = 1 a-t-elle une solution ? si oui, laquelle ?
la solution est x = 1	la solution est x = 0	la solution est x = 1/2
il n’y a pas de solution
Il n’y a pas de solution car f(x) = 1 équivalent à 1 – 1/ (1+x²) = 1 équivalent à 1/ (1+x²) = 0. Or, pour tout x de [-5 ; 5], 1+x² > 0 donc l’équation ne peut avoir de solutions.

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