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Les fonctions polynômes

1)

En effet, f n’est pas définie pour x=3, ce n ’est donc pas une fonction polynôme.

2) La fonction suivante est-elle un polynôme ? Si oui, donner son degré : pour tout x, f(x)=(x²+1)(3-x)
degré = 4.	degré = 3.	degré = 2.
ce n’est pas un polynôme.
En effet en développant et en appelant cette fonction P, on obtient : P(x)= -x³+3x²+x-3 : Pest bien un polynôme et le degré de P est bien 3.

3) Même question pour f(x)=(a-1)x²+2x où a est un réel fixé.
degré=2.	degré=2 si a différent de 1 et degré=1 si a=1.	degré=1.
degré=0.
En effet, si a=1 alors f(x)=2x et degré=1 sinon degré=2.

4) Calculer la somme des 2 polynômes suivants: P (x)= (x²-1).(x+1) Q(x)= x(1-2x)(x+2)
S(x)= x²+x-1.	S(x)= x³ -2x²+x-1.	S(x) = - x³+2x²+x-1.
S(x)= - x³ - 2x²+x -1.
Il suffit de développer P et Q et de les additionner.

5) En utilisant la méthode de Hôrner, donner la valeur de P(0.1) avec: P(x)=x^5+4x^4 -3x²+4x-1
P(0.1)= -0.62959	P(0.1)= -0.6525	P(0.1)= 0.5624
P(0.1)= -0.6594
Utiliser la méthode de Hörner

6)


Il s’agit d’un trinôme: comme a=2, a>0 donc ce trinôme est positif, c’est-à-dire du signe de a, à l’extérieur des racines du trinôme. Calculons le discriminant delta = 7.7-4.2.(-4)=49+32=81=9² D’où ce trinôme admet deux racines réelles distinctes qui sont -4 et 1/2. Comme les inégalités sont larges, il s’agit bien de la réponse d.

7)


En effet, on étudie d’abord le numérateur : -discriminant = 5 -racines= -4 et 1 - positif à l’extérieur des racines Puis on étudie le dénominateur: - discriminant = V5 -racines= (1-V5)/2 et (1+V5)/2 - positif à l’extérieur des racines On rassemble tous les résultats dans un tableau de signe et on trouve la réponse.

8)


Par une méthode analogue à la question 6, on en déduit ce résultat. ATTENTION AUX INÉGALITES LARGES !!!

9) Déterminer la fonction polynôme g telle que pour tout x réel, f(x)= (x-2)g(x) avec f(x)=x³-x²-3x+2
g(x)= x²-x+1	g(x)= 3x²-x-1	g(x)=x²+x-1
g(x)=x²+2x-1
Pour résoudre cet exercice, on peut utiliser la division des polynômes.

10) Factoriser le polynôme P P(x)= 3 x^4 -11x² -4
P(x)= (x-2) (x+2) ( 3x²-1)	P(x)=(x-2) (3x²+1)	P(x)= (x-2)(x+2)(3x²+1)
P(x)=(x²-2)(3x²+1)
On met P sous sa forme canonique: P(x)= 3 (x^4 - 11/3 x² - 4/3) = 3 [(x²-11/6)² -121/36 - 4/3 ] = 3 [(x²- 11/6 )² - 169/36 ] = 3 (x²- 11/6 - 13/6) (x²-11/6+13/6) = 3 (x²-4)(x²+1/3) = (x-2) (x+2) ( 3x²-1)

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