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Les fonctions : généralités (2)

1) Dans les questions 1, 2 et 3 et 4, on considère la fonction f définie par : f(x) = 1 / (1+x²); Quel est l’ensemble de définition de f ?
]-inf ;+inf [	] -inf ; -1[ U ] –1 ;+inf [	[1 ; -1]
]1 ; -1[
pour tout nombre x, x² >= 0, donc 1+x² >0 et (1+x²) est donc non nul.

2) Etudier la parité de f.
f est paire	f est impaire	f n’est ni paire ni impaire
f(-x) = 1 / (1+(-x)²) = 1/ (1+x²) = f(x)

3) Parmi ces inégalités, laquelle est vraie ?
0 <= f(x) < 1	0 < f(x) <= 1	f(x) < 0
f(x) > 2
Nous avons vu que 1+x²> 0, donc f(x) >0. En outre, 1+x² >= 1, donc 1 / (1+x²) <= 1

4) Etudier les variations de f sur son domaine.
f est croissante sur R	f est décroissante sur R-, et croissante sur R+	f est croissante sur R-, et décroissante sur R+
f est décroissante sur R
Soient a et b deux réels tels que 0< a< b. Dans R+, on a : a² 1/ (1+b²) d’où f(a) > f(b). f est décroissante sur R+. Comme f est paire, f est croissante sur R-*.

5) Pour les questions 5, 6, 7 et 8, on considère la fonction définie par : Tout x réel, f(x) = 4 x² - 100; Quelle est l’image de V8 ?
(V8 – 100) / 4	4V8 – 10	4V8 – 100
– 68
f (V8) = 4 (V8)² - 100 = 32 – 100 = - 68

6) Quelle sont le ou les antécédents de 0 ?
5	5 et –5	0 et 10
–10 et 10
Soit h l’antécédent de 0. On a 4h² - 100 = 0 équivalent à (2h –10) (2h+10) = 0 équivalent à h= 5 ou h =-5.

7) Etudier la parité de f.
f est paire	f est impaire	f n’est ni paire ni impaire
on ne peut pas savoir
f (-x) = 4 (-x)² -100 = 4x² - 100 = f (x)

8) Etudier les variations de f.
f est décroissante sur R	f est croissante sur R	f est croissante sur R-, décroissante sur R+
f est décroissante sur R-, croissante sur R+.
Soient a et b tels que 0 < a < b. Alors a² < b² et a² - 100 < b² - 100, d’où, f(a) < f(b). Sur R+, f est croissante. Par parité de la fonction, f est décroissante sur R-

9) Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par : f (x)= 4 / (1- x) ?
R	] -inf ; -1] U [1 ;+inf[	] -inf ; 1[ U ]1 ;+inf[
[ 1 ;+inf[
Un dénominateur ne peut pas être nul, donc (1 – x) doit être différent de 0. La seule condition est donc : x différent de 1.

10) Une fonction paire définie sur R peut – elle être strictement croissante ?
oui	non
Mais il faut remarquer qu’une fonction paire peut être « croissante » (mais pas strictement) : en effet : une fonction constante (du type : f(x) = c avec c une réel fixé) peut être considérée comme une fonction croissante.

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