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La dérivation

1)


En effet, en formant le taux d’accroissement de f pour tout x 0, on trouve : t(h)=(1/(x+h)-1/x)/h=-1/x(x+h) Or lim en 0 de t(h) = -1/x² f est donc dérivable pour tout x non nul et f’(x)=-1/x²

2) Soit f(x)=mx+p. f est-elle dérivable en a (a dans R) ? Si oui, quelle est sa valeur ?
m	0	a
f n'est pas dérivable
En effet, d’une manière analogue à la première question, on forme le taux d’accroissement : t(h)=(f(a+h)-f(a))/h=mh/h=m

3)

4)


Remarque : f est une fonction définie sur R/(-1,2). Or f est rationnelle, donc elle est dérivable sur son ensemble de définition. On calcule sa dérivée en utilisant la formule (u/v)'=(u'v-uv')v²

5) Soit f(x)= (x-1)³(x+3). Calculer la dérivée de f.
f’(x) = (x-1)²(4x+10)	f’(x) = (x-1)²(x+9)	f’(x) = (x-1)²(3x+8)
f’(x) = (x-1)²(4x+8)
Clairement f est dérivable sur R car c’est une fonction polynôme. De plus, on remarque que f= u v avec u(x) = (x-1)³ et v(x) = (x+3) Ces deux fonctions admettent pour dérivées u’(x) = 3 (x-1)² et v’(x)=1. On peut donc appliquer la formule du cours (u.v)’= u’v+v’u Donc pour tout x de R, f’(x)= [3 (x-1 ) ²(x+3)+(x-1)³] Soit f’(x) = (x-1)²(4x+8).

6) Soit f(x)= x²-4x+4Déterminer l’équation de la tangente de la courbe représentative de f au point d’abscisse 1.
y = - 2x+3	y = 2x+3	y = - 2x
y = x+3
Il suffit d’appliquer la formule du cours : y-f(a)=f’(a)(x-a) Ici a=1. On calcule f(1) : f(1)=1 On calcule la dérivée de f. f est un polynôme donc il est dérivable sur R. On détermine sa dérivée qui est f’(x)= 2x-4 et f’(1)=-2. On en déduit donc l’équation de la tangente de f en 1 : y-1= - 2(x-1) soit y = - 2x+3.

7) Soit f(x)= (x²+a x+b)/(x-2) pour x différent de 2. a et b sont des réels. Déterminer a et b tels que la droite d’équation y=8 soit la tangente à C au point d’abscisse 3.
a=2 et b= 7	a=0 et b=7	a=2 et b= -7
a=3 et b= 0
La fonction f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur R-{2}. On calcule f’ : f’(x)= (x-2)(2x+a)-(x²+ax+b)/(x-2)² Soit f’(x)=(2x²+ax-4x-2a-x²-ax-b)/(x-2)² Et donc f’(x)=(x²-4x-2a-b)/(x-2)² On veut que f(3)=8 et que la coefficient directeur de la tangente, c’est-à-dire f’(3), soit nul : f’(3)=0. On obtient donc le système suivant : {9+3a+b=8 {9-12-2a-b=0 {b=-3a-1 {9-12-2a+3a+1=0 {b=-3a-1 {a=2 {b=-7 {a=2 La solution est donc a=2 et b= -7.

8)

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