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Inégalités, inéquations, approximations (2)

1) On considère un carré où le côté c mesure 30 cm à 6 mm près.Encadrer l’aire A du carré (exprimée en cm²)
24²< A < 36²	29,4²< A< 30,6²	29,04² < A< 30,06²
4 x 29,4 < A< 4 x 30,06
6mm = 0,6cm. A = c² or 30 – 0,6 < c < 30+0,6 ; d’où : 29,4² < c² < 30,6²

2) Résoudre : 5 (x²+10) > 0
x < V10	x > V10	pas de solution
x appartient à ]-inf ;+inf [
5 (x²+10) > 0 équivalent à x²+10 > 0, ce qui est vrai pour tout x car 10 > 0 et un carré est toujours positif.

3) La troncature à 10-5 près de 123,7732089 est :
123, 773208	123, 7732	123, 77320
123, 77320895
Techniquement, la troncature à 10-5 près de 123,7732089 est 123,77320 mais ce nombre est égal à 123,7732.

4) La troncature à 10-² près de 0,00496 est :
0,0049	0,004	0,04
0

5) Ecrire à l’ aide de valeurs absolues : 1 <= x <= 6
\|x - 1\|<= 6	\|x\|<= 5	\|x – 7/2\| <= 5/2
\|x -1\| <= 5
Le centre de l’intervalle [1 ; 6] est (1+6)/ 2 = 7/ 2; son rayon est (6 – 1)/ 2 = 5/ 2 Donc 1 <= x <= 6 équivalent à \|x – 7/2\| <= 5/2 (cf cours sur les valeurs absolues).

6) Ecrire à l’aide de valeurs absolues : -5 < x < -3
\|x - 1\| < -4	\|x - 1\| < -8	\|x - 8\| < 1
\|x - 4\| <= 1
Le centre de l’intervallle ] –5 ; -3[ est (-5+(-3)) / 2 = -4, et son rayon est (-3 – (-5)) / 2 = 1. Donc : -5 < x < -3 équivalent à \|x - 1\| < -4

7) Résoudre \|x+10 \| >= 1
x >= -9	x >= -10	x >= 10 ou x <= -10
x >= - 10 ou x <= - 11
\|x+10 \| >= 1 s’écrit x+10 >= 1 ou x+10 <= -1 soit : x >= - 10 ou x <= - 11

8) Soient \|x\| et \|y\| deux nombres tels que \|x\| < 1 et \|y\| < 1.L’inégalité \|xy\| < 1 est-elle..
vraie	fausse
Quels que soient les nombres x et y, on a \|x\| > 0 et \|y\| > 0. On a donc 0< \|x\|< 1 et 0< \|y\|< 1 ; d’où \|xy\| < 1 (cf cours sur les valeurs absolues)

9) Etudier, selon la valeur de x, le signe de A = (4/ 5)x+3
A est positif si x > 0, négatif sinon.	A est positif si x < 3/20, négatif sinon.	A est positif quel que soit la valeur de x
A est positif si x > -15/ 4, négatif sinon.
(4/ 5)x+3 > 0 équivalent à (4/ 5)x > -3 équivalent à x > -3(5/ 4) équivalent à x > -15 / 4

10) Résoudre : 16 <= x²
x <= -4 ou x >= 4	x >= 4	x >= 8
\|x\|>= 4
16 <= x² s’écrit 16 – x² <= 0 équivalent à (4 - x) (4+x) <= 0 (cf cours sur le calcul numerique). En rentrant le signe de (4 – x) et celui de (4+x) dans un tableau de signes, il apparaît que x <= -4 ou x >= 4

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5) Ecrire à l’ aide de valeurs absolues : 1 <= x <= 6
\|x - 1\|<= 6	\|x\|<= 5	\|x – 7/2\| <= 5/2
\|x -1\| <= 5
Le centre de l’intervalle [1 ; 6] est (1+6)/ 2 = 7/ 2; son rayon est (6 – 1)/ 2 = 5/ 2 Donc 1 <= x <= 6 équivalent à \|x – 7/2\| <= 5/2 (cf cours sur les valeurs absolues).

6) Ecrire à l’aide de valeurs absolues : -5 < x < -3
\|x - 1\| < -4	\|x - 1\| < -8	\|x - 8\| < 1
\|x - 4\| <= 1
Le centre de l’intervallle ] –5 ; -3[ est (-5+(-3)) / 2 = -4, et son rayon est (-3 – (-5)) / 2 = 1. Donc : -5 < x < -3 équivalent à \|x - 1\| < -4

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