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Géométrie dans l'espace

1) Supposons D//P. Si P et P’ sécants, alors…
D//P’	D sécant à P’ en un point	D et P’ n’ont pas de point d’intersection
On ne peut rien conclure
En effet P et P’ sont sécants mais cela ne signifie pas forcément que D est sécante à P’.Les deux dessins montrent que D peut être sécante à P’ mais aussi ne pas avoir de point d’intersection. PROBLEME POUR LES DESSINS

2) Si P//P’, soit delta droite quelconque de P. P et P’’ sécants en une droite D. On a …
D//P’	D sécant à P’	D et P’ n’ont pas de point d’intersection
L’intersection de P’ et P’’ est parallèle à D.
D est une droite de P or P //P’ donc toutes les droites de P sont parallèles à P’. Mais à priori P et P’ ne sont pas confondus donc D//P’ mais n’est pas une droite de P’ et n’a donc pas de point d’intersection avec P’. Par contre, P’ et P’’seront sécants en une droite qui est parallèle à la droite d’intersection de P et P’’, donc parallèle à D.

3) Dans ce même cas,…
delta//D	delta//P’	delta et D sont sécantes
delta et P’’ sont sécants
delta est une droite de P et donc est parallèle à P’ comme toutes les droites de P. Mais on ne peut rien conclure quant à la position relative de D et delta. On ne peut donc pas savoir si delta et P’’ sont sécants ou peut-être parallèles.

4) Soit un cube ABCDEFGH, avec I le centre du carré ABCD, J =mil[AE] et K=mil[AG]. On a (FK)//…
(ID)	(BD)	(JH)
on ne peut rien dire
On a clairement (BD)// (FH) car ces deux diagonales du cube sont parallèles.(FK) et (FH) sont sécantes donc (FK) et (BD) ne peuvent être parallèles. B, I et D sont alignés donc (FK) et (ID) ne sont pas parallèles non plus. Enfin, F, K et H appartiennent au plan (EFGH). J n’y appartient pas donc les droites (FK) et (JH) ne sont pas coplanaires. Deux droites parallèles sont forcément coplanaires. Ainsi, on ne peut rien conclure à cette question.

5) (JH) et (IK) sont …
coplanaires	parallèles	sécantes
sans point d’intersection
Il faut se représenter ces deux droites dans l’espace, et par exemple se dire que la droite (JH) est une droite du plan (ADE). Or (IK) est une droite d’un autre plan qui est parallèle au plan (ADE), c’est le plan qui sépare le cube en 2 moitiés au niveau de I. Deux droites de plans parallèles ne peuvent être sécantes, et dans ce cas elles ne sont clairement pas parallèles.

6) (HIJ) est un triangle…
quelconque	isocèle en H	isocèle en I
équilatéral
Si on note a le côté du triangle, on a trois triangles rectangles (AJI), (DHI) et (EJH) et les trois côtés du triangle (HIJ) sont les trois hypoténuses de ces triangles rectangles. On calcule facilement qu’une diagonale a pour longueur V2.a. On peut donc calculer leur valeur : JI= V((V2/2.a)²+(a/2)²)=V(a²/2+a²/4)=V3/2.a. On a IH= V((V2/2.a)²+a²)=V(a²/2+a²)=V(3/2).a.et JH=V((a/2)²+a²)=V(a²/4+a²)=V3/2.a.. On trouve JH= HI donc le triangle (HIJ) est isocèle en H.

7) Soit P un plan contenant un point A et une droite (BC). On a P’ plan contenant (BC) mais pas A. Que peut on conclure ?
l’intersection de P et P’ est limitée à (BC)	(AB) et P’ sont sécants	P // P’
L’intersection de P et P’ ne se limite pas à (BC)
Deux plans sont sécants en une droite et donc ici cette droite est la droite (BC). B est un point de P’ donc il est clair que (AB) coupe P’ en B.

8) soit u(2,1,0), v(-1,0,2) et w(0,1,4). Le vecteur w …
forme un repère (u, v, w )	est colinéaire à (u+v )	est coplanaire avec u et v
est orthogonal à u et v
Il faut tenter de trouver des réels a et b tels que w =au+bv. Dans ce cas, regardons les coordonnées et commençons par celles qui sont faciles. Pour la cote, nécessairement il faudrait b=2 car la cote de u est nulle. D’autre part, l’ordonnée de v est nulle et donc on devrait avoir a=1. En effet, on a bien le bon résultat pour l’abscisse en prenant a=1 et b=2. c’est la définition de 3 vecteurs coplanaires. w ne peut être orthogonal à u et v car les vecteurs sont coplanaires et ne forment donc pas un repère de l’espace.

9) Soit A(1, 2, 3) B(-1 ; 0 ; 2), C(-1 ; 2 ; 3) et D(-2 ; 0 ; x). Quelle valeur doit prendre x pour que D soit dans P, où P est le plan formé par A, B et C ?
x=1	x=-1	x=2
il n’existe pas de x réel tel que D puisse être un point de P
Si D n'appartient pas à P, on peut écrire AD=aAB+bAC où a et b sont deux réels. Or les vecteurs AB, AC et AD ont pour coordonnées respectives : (-2 ;-2 ;-1) ; (-2 ;0 ;0) et (-3 ;-2 ;x-3). Donc on aurait trois équations : -3=-2a-2b -2=-2a x-3=-a ce qui se résout en a=1 et x=-1+3=2.

10) Soient les points A(0 ;1 ;0) B(1 ;0 ;0) C(-1 ;-1 ;3) et D(0 ; 1 ;2). Vrai ou faux ?
A, B, C et D sont alignés	(AB)//(CD)	A,B,C et D sont coplanaires
A, B C et D ne sont pas coplanaires
Dans ce cas on passe par les vecteurs : on a AB (1 ; -1 ; 0) ; AC(-1 ; -2 ;3) et AD(0 ;0 ;2). Cette fois on ne peut trouver de combinaison linéaire de AD en fonction de AB et C. Les points A,B,C,D ne sont donc pas coplanaires et ils ne peuvent former deux droites parallèles.

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