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Généralités sur les fonctions

1)


Tout d’abord, il faut que le dénominateur de la fraction ne s’annule pas. Donc, il faut que x soit différent de 1. De plus, la fonction f est définie si l’expression sous radical est positive, c’est à dire si x>1.

2)


Comme l’ensemble d’arrivée de f est inclus dans l’ensemble de définition de g, gof est définie sur R. On calcule g[ f(x)]= -2f(x) ²+1 =-2x²+1 donc gof(x)= -2x²+1 Comme l’ensemble d’arrivée de g est inclus dans l’ensemble de définition de f, fog est définie sur R. On calcule f [g(x)]= g(x)²= (-2x²+1)²= 4x^4+4x²+1 donc fog(x)=4x^4+4x²+1 Finalement, gof(x)= -2x²+1 et fog (x)= 4x^4+4x²+1

3)


La fonction g est un polynôme donc g est définie sur R et elle est à valeurs dans R. La fonction f est clairement définie sur]-oo,3] et elle est à valeurs dans R. La fonction fog est définie pour tout x tel que g(x) <=3. Soit x²-2 <=3 soit x²<=1. Soit -1<=x<=1 L’ensemble de définition de fog est donc [-1,1].

4) Soit les fonctions f et g définies par : f(x)= -x+1 et g(x)=-x² Déterminer le sens de variation de gof.
gof est croissante sur R	gof est décroissante sur ]-inf;1[, croissante sur ]1;+inf[	gof est croissante sur ]-inf;1[, décroissante sur ]1;+inf[
gof est décroissante sur R
Les fonctions f et g sont définies sur R et prennent des valeurs dans R pour f et R- pour f. La fonction f est affine et elle est clairement décroissante. La fonction g est une parabole et elle est croissante sur R- et décroissante sur R+. La fonction f prend des valeurs négatives pour x >1 et elle prend des valeurs positives pour x <1. Sur ]-inf,1], f est strictement décroissante et f prend des valeurs positives. Sur R+, g est strictement décroissante donc gof est strictement croissante sur ]-inf;1] Sur [1,+inf[f est strictement décroissante et f prend des valeurs négatives. Or g est strictement croissante sur R-. Donc gof est strictement décroissante sur [1,+inf[

5) Soit la fonction f suivante : f(x)= 2x²-8x+9 Déterminer un encadrement de f(1,8) à 0,01 près.
1,1 <=f( x ) <=1,2	1,02 <=f( x ) <=1,18	1,0 <=f( x ) <=1,18
1 <=f( x ) <=1,18
La fonction f est un trinôme : calculons son discriminant : delta=64-4.2.9=-8 Comme delta <0, le trinôme n’admet aucune racines réelles. C est une parabole d’équation Y=2X² dans le repère (S, i, j ). On a xs= -b/2a=8/4=2 Comme a=2, a>0 : on peut donc en déduire le sens de variation de f sur R. Sur ]-inf;2], f est décroissante. Sur ]2 ;+inf[,f est croissante. Or [1,7 ;1,8] est inclus dans ]-inf;2], intervallesur lequel f est décroissante. 1,7 <=1,8 <=1,9 f(1,9) <=f(x) <=f(1,7) 1,02 <=f( x ) <=1,18

6) Soit la fonction f(x)= -x²+3x-1 Après avoir précisé le sens de variation de f, montrer que f est bornée sur [-3 ;5].
-11<=f(x) <=5/4.	-1<=f(x) <=5/4.	-19<=f(x) <=11.
-19<=f(x) <=5/4.
C est une parabole d’équation Y =-X² dans le repère (S, i, j ). On a xs=-b/2a=3/2 et ys= f(3/2)= 5/4 Comme a=-1, a<0 : on peut donc en déduire le sens de variation de f sur R. Sur ] -inf;3/2] f est croissante. Sur [3/2 ;+inf[ f est décroissante. Donc, sur [-3 ;3/2] f est croissante et sur [3/2 ;5] f est décroissante. On obtient donc : -Sur [-3 ;3/2], f(-3)<=f(x)<= f(3/2) soit -19<=f(x)<=5/4 -Sur [3/2 ;5], f(3/2) <=f(x ) <=f(5) soit -11<=f(x)<=5/4 Finalement, sur [-3 ;5], -19<=f(x) <=5/4.

7)

8) Soit f(x)= 1-x ; g(x)= 1/(1+x) ; et h(x)= 1-x+2x². Soit D= [-1/2 ;1], montrer que f< g< h sur D et en déduire une valeur approchée par défaut de g à 2x² près.
x est une valeur approchée par défaut de (1/(1+x)) à 2x² près.	(1-x) est une valeur approchée par défaut de (1/(1+x)) à 2x² près.	0 est une valeur approchée par défaut de (1/(1+x)) à 2x² près.
(1-x²) est une valeur approchée par défaut de (1/(1+x)) à 2x² près.

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