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Dénombrement

1) On lance un dé non pipé trois fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir zéro fois le chiffre 6 ?
(1/6)³	0	1
(5/6)³
Déterminons d’abord l’univers des possibles. Chaque fois que l’on lance le dé, il y a 6 possibilités parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Comme on lance trois fois de suite le dé, il y a 6³ possibilités. De plus, le dé est non pipé, donc on peut appliquer la formule d’équiprobabilité. Comme on veut obtenir 0 fois le 6, il n’y a plus que 5 possibilités à chaque fois, à choisir parmi {1, 2, 3, 4, 5}. Donc le nombre de cas favorables est 5³. Finalement on trouve bien que la probabilité de l’événement est (5/6)³.

2) Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules rouges toutes indiscernables au toucher. On tire successivement sans remise 3 boules dans l’urne. Quel est le nombre de tirages possibles ?
8³	8	336
3³
En effet, comme il n’y a pas de remise, à chaque nouveau tirage, il y a une boule en moins. Or au début, l’urne contient 5+3=8 boules. Au premier tirage, on a donc le choix parmi 8 boules, au deuxième tirage le choix se fait parmi 7 boules et enfin au dernier tirage, on en choisit une parmi 6. Donc le nombres de tirages possibles est 8.7.6 = 336.

3) Même question si les trois boules sont tirées simultanément.
8³	56	336
3
Ici l’ordre n’intervient pas puisque les boules ne sont pas tirées les unes après les autres mais toutes ensemble. Il y a donc 336 tirages possibles mais ici il ne faut pas prendre en compte l’ordre de tirage.Or il y a 3 façons de ranger la première boule parmi les trois boules tirées, puis deux places pour la deuxième et enfin une seule façon pour la dernière. Donc le nombre de tirages possibles est : (8.7.6)/(3.2.1)= 56.

4) Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules noires, 3 vertes. On tire trois boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l’urne avant de prendre les suivantes. Quel est le nombres de tirages possibles ?
12²	12	12.11.10=1320
12³
Comme le tirage se fait avec remise, il y a toujours 5+4+3=12 boules au début de chaque tirage. Il y a donc 12³ tirages possibles.

5) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir trois boules rouges ?
5/12	3²	5³/12
(5/12)³
On fait l’hypothèse d’équiprobabilité. Au début de chaque tirage, il y a toujours 5 boules rouges : il y a donc 5³ tirages favorables à l’événement : «obtenir trois boules rouges». Finalement la probabilité de cet événement est bien (5/12)³.

6) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges exactement ?
(3.5².7)/12³	(5².7)/ 12³	(5².12)/12³
(5²)/12³
On veut tirer deux boules rouges exactement : il y adonc 5² possibilités. Ensuite une boule d’une couleur autre que le rouge : 7 possibilités (4 noires et 3 vertes) Comme l’ordre intervient, il y a trois manières de placer cette boule non rouge, les deux autres boules rouges se placeront alors dans les «trous». Donc la probabilité de l’événement est bien (3.5².7)/12³.

7) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge ?
1-(5/12)³	(5/12)³	1- (5/12)
1-(7/12)³
Dans ce genre de cas, il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement contraire qui est alors : obtenir zéro boule rouge. On appliquera ensuite la formule p(A) = 1-p(Â) Si on n’obtient aucune boule rouge, alors on n’obtient que des vertes ou des noires qui sont au nombre de 7. Il y a alors 7.7.7 possibilités pour obtenir que des boules vertes ou noires. D’où la probabilité de l’événement : « obtenir au moins une boule rouge » est : 1-(7/12)³

8) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir deux boules vertes et une noire ?
(3.3².4)/12³	(3².4)/ 12³	1-(3².4)/ 12³
(3.4.5)/ 12³
On choisit deux boules vertes, sachant que l’urne contient 3 boules vertes avant chaque tirage : il y a 3² possibilités. On choisit une boule noire parmi 4 boules noires : il y a clairement 4 possibilités. En suivant le raisonnement du 5), il y a trois façons de placer ces boules. Donc la probabilité de l’événement est bien (3.3².4)/12³.

9) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir trois boules de la même couleur ?
½	12.3/ 12³	(5 ³+4 ³+3 ³)/ 12³
(5.4.3)/ 12³
On veut obtenir ou bien 3 boules rouges ( 5³ possibilités), ou bien 3 boules vertes (3³ possibilités ), ou bien 3 boules noires (4³ possibilités ). Comme l’événement demandé est la réunion disjointe de ces trois événements, la probabilité de l’événement est bien la somme des probabilités de ces 3 événements et on a bien : (5³+4³+3³)/ 12³.

10) En reprenant l’énoncé du 4), quelle est la probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes ?
½	1- (5 ³+4 ³+3 ³)/ 12³	(6.5.4.3) / 12³
1/12
On tire une boule rouge parmi 5 : 5 choix. On tire une boule verte parmi 3 : 3 choix. On tire une boule noire parmi 4 : 4 choix. On range les boules : la boule rouge peut être placée en trois places possibles, la verte n’a plus le choix qu’entre deux places et la noire a une seule possibilité, la place restante. Il y a donc 3.2= 6 dispositions possibles. Donc la probabilité de l’événement est bien (6.5.4.3)/12³.

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