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Connaissances élémentaires de géométrie (2)

1) Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur :
est un carré	est un rectangle	n’a pas de nom particulier
est un losange

2) Dans les question 2 à 7, on considère un triangle ABC, non rectangle, avec H son orthocentre, G son centre de gravité, O le centre de son cercle circonscrit c, A’ le milieu de [BC] et D le symétrique de A par rapport à O. La figure BHCD …
est un quadrilatère quelconque	est un losange	est un parallélogramme
est un quadrilatère croisé
Par définition de l’orthocentre, (BH) est perpendiculaire à (AC), et (CH) à (AB). Comme [AD] est un diamètre de c, et C et B sont sur c. ABC et ABD sont donc des triangles rectangles. (BH) et (CD) sont perpendiculaires à (AC), donc parallèles entre elles. (CH) et (DB) sont perpendiculaires à (AB), donc parallèles entre elles. Le quadrilatère BHCD a ses côtés opposées deux à deux parallèles, c’est donc un parallélogramme.

3) A’ est-il également le milieu de [HD] ?
oui	non
A’ est le milieu de [BC], donc c’est également le milieu de [HD] car BHCD est un parallélogramme.

4) Pour le triangle AHD, la droite (AA’)…
est une droite quelconque	est la hauteur issue de A	est la bissectrice de Â
est la médiane issue de A
A’ est le milieu de [HD], donc (AA’) est la médiane issue de A dans le triangle AHD

5) Parmi les proposition suivantes, laquelle est juste ?
G est situé su [AA’] et A’G = 1/ 3 A’A	G est situé su [AA’] et A’G = 2 / 3 A’A
G est le centre de gravité de ABC, donc G est situé sur [AA’] et A’G = AA’.

6) Quel est le rôle de G dans le triangle AHD ?
G est l’orthocentre de AHD	G est le centre de gravité de AHD	G est le centre du cercle inscrit de AHD
G est le centre du cercle circonscrit de AHD.
G est sur le médiane [AA’] de AHD et vérifie A’G = 1/ 3 A’A. G est donc le centre de gravité de AHD.

7) Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?
G appartient à (OH)	G est confondu avec O	OG = 2/ 3 de OH
OG = 1/ 3 de OH
La droite (OH) est la médiane issue de H du triangle AHD ; le centre de gravité G de AHD est donc sur la médiane [OH] et on a OG = 1/3 OH

8) Dans les questions 8 et 9, on considère un triangle ABC. Soit [Bx) la demi-droite d’origine B qui ne contient pas A. les bissectrices des angles BÂC et BCA se coupent en un point O. Parmi ces propositions, laquelle est exacte ?
O est le centre d’un cercle tangent à (AB).	O est le centre d’un cercle tangent à (AB) et à (AC)	O est le centre d’un cercle tangent à (AB), (AC) et à (BC).
Aucune de ces propositions n’ est exacte.
On a d(O, (AB)) = d(O, (AC)) = d(O, (BC)). SOIENT A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de O sur (BC), (CA) et (AB). Le cercle de centre O et de rayon OA’ passe par A’, B’ et C’ et est tangent en ces points à (BC), (CA), (AB).

9) A quoi sont égales les distances AB’ et AC’ ?
à AC’²	au demi-périmètre de ABC	à 2 BC
à 1/ 2 de AO
Les deux segments de tangentes menées d’un point à un cercle ont même longueur. D’où : AC’=AB’, BC’=BA’ et CA’=CB’. Le périmètre de ABC vaut : AB+BC+CA= AB+BA’+A’C+CA=AB+BC’+CB’+CA=AC’+AB’=2AB’ (ou 2 AC’). AB’ est donc égale au demi- périmètre de ABC.

10) Un quadrilatère dont les deux diagonales sont perpendiculaires…
est un rectangle	est un carré	n’a pas de nom particulier
est un losange
Les diagonales du losange sont perpendiculaires (a fortiori, celles du carré) mais il existe des quadrilatères aux diagonales perpendiculaires qui ne sont pas des losanges (si par exemple les diagonales ne se coupent pas en leur milieu).

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