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Connaissances élémentaires de géométrie (1)

1) Soit ABC un triangle tel que AB = 8 cm, CAB = 70° et ABC = 45°.Quelle est la mesure de ACB ?
On ne peut pas savoir	ACB = 65°	ACB = 85°
un tel triangle n’existe pas.
Dans tout triangle, la somme des angles est égales à 180°. On a donc : ACB = 180 – (70+45) = 65°.

2) Un carré est un parallélogramme. Vrai ou faux ?
Vrai	Faux
Un carré est un quadrilatère non croisé. Dans un carré, les côtés opposés sont 2 à 2 parallèles. Le carré vérifie donc au moins une des conditions d’existences du parallélogramme. Un carré est donc un parallélogramme.

3) Quel est l’orthocentre d’un triangle rectangle ABC, rectangle an A?
Le point situé sur la hauteur issue de A, à une distance de 2/ 3 du sommet A	Le point situé sur la hauteur issue de A, à une distance de 2/ 3 du côté opposé à A	Le milieu de [BC]
Le sommet A
(CA) est la hauteur issue de A ; (BA) est celle issue de B ; A est donc le point de concours des hauteurs su triangle ABC.

4) Soit une droite d, et d’ sa parallèle. Ces deux droites sont coupées par une même droite k. Soit M un point de d. Quel est le projeté de M sur d parallèlement à d’ ?
M	Le milieu du segment formé par les points d’intersections de d et k et de d’ et k.	Le symétrique de M par rapport à la droite K
Il n’existe pas.
Lorsque deux droites d et d’ sont parallèles, on ne peut pas définir le projeté d’un point M sur d parallèlement à d’.

5) Soit ABC un triangle isocèle en C. Que peut-on dire du point C ?
C est sur la médiatrice de (AB)	C est sur la médiatrice de [AB]	La distance entre le point C et la médiatrice de [AB] est égale à 2/ 3 de AB
Il n’y a aucun rapport particulier entre le point C et la médiatrice de [AC]
Si ABC est isocèle en C, on a AC = BC. C est donc équidistant de A et de B. C est donc sur la médiatrice de [AB].

6) Soit ABC un triangle quelconque, tel que BC = 7 cm. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. Quelle est la longueur de [I J] ?
7 cm	3,5 cm	7 / 2 cm
1/ 7 cm
On trouve ce résultat grâce au théorème des milieux. (cf. fiche de cours).

7) Que peut-on dire des droites (BC) et (IJ) ?
rien de particulier	qu’elles sont parallèles	qu’elles sont perpendiculaires
qu’elles sont sécantes.
La droite passant par les milieux de 2 côtés d’un triangle est parallèle au 3 ème côté de ce triangle, d’après le théorème des milieux.

8) Soit ABCD un quadrilatère non croisé dont les diagonales ont le même milieu. Alors :
à coup sûr, ABCD est un rectangle	à coup sûr, ABCD est un losange	à coup sûr, ABCD est un parallélogramme
on ne peut rien dire de précis sur ABCD.
Il s’agit ici de la réciproque des propriétés du parallélogramme : il suffit qu’un quadrilatère remplisse cette condition pour qu’il soit un parallélogramme.

9) On considère un triangle ABC. La bissectrice de l ‘angle BÂC coupe le segment [BC] en D. Par C, on trace la parallèle à (AD) ; elle coupe (AB) en E. Parmi ces égalités suivantes, laquelle est vraie ?
AE / AC = BA / BC	CD / CA = EC / CA	BD / BC = BA / BE
BC / BD = BE / BA
On trouve cela grâce au théorème de Thalès appliqué au triangle BCE,où, par construction, (DA) est parallèle à (CE).

10) (Suite de la question 9). En utilisant le théorème de Thalès, peut-on également affirmer que BD / DC = BA / AE ?
oui	non
En effet, le théorème de Thalès permet non seulement d’écrire l’égalité des rapports « grande longueur » sur « petite longueur » (comme dans la question 9), mais également dans l’ordre indiqué dans l’énoncé de la question 10.

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