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Angles orientés

1)


En effet on ne sait pas si les vecteurs u et v sont de même sens ou de sens contraires; écrire (u,v) = 0 (pi) permet de surmonter ce problème sans décider si ils forment un angle nul ou un angle plat.

2)


on a (-v,-u) = (v,u) (2pi) = -(u,v) (2p) on a aussi (-v,-u) = (-v,u)+pi (2pi)

3) Que vaut sin (-5pi/6) ?
– ½	V3/2	-V2/2
1/2
Il suffit de se reporter au cercle trigonométrique : On sait aussi que sin (-5pi/6)= - sin (5pi/6) = -( ½)

4)


En effet simplifions l'expression : (AB,AC)+(CA,CB)+(CB,BA) = (AB,AC)

5)


En fait on sait que l’angle BAC vaut 90° mais on ne sait pas comment l’angle est orienté : cela signifie que on peut avoir (AB,AC) = pi/2 (2pi) ou bien (AB,AC) =-pi/2 (2p) la solution d) permet de concilier les deux.

6)

7) Soit (ABCDEFG) un heptagone régulier de centre O (polygone à 7 côtés et 7 angles de même mesure). On prend pour hypothèse que l'on numérote les sommets dans le sens trigonométrique, en partant de OA = i. Donner la mesure principale de (OA,OB) :
pi/7	2pi/7	–2pi/7
pi/6
Sur le cercle, il est clair que l'on partage 2pi en sept portions ; ainsi l'angle (OA,OB) vaut 2 pi/7 (en mesure principale )

8) Avec les mêmes hypothèses, donner la mesure principale de (i,OE) :
–2pi/7	–9pi/7	8 pi/7
–6pi/7
Il est clair que d'après le dessin on a la mesure de (i,OE); c) est une mesure correcte de l'angle mais ce n'est pas la mesure principale.

9)


Le polygone est régulier et inscrit dans un cercle, il est clair que l’ axe (OA) est un axe de symétrie pour l’heptagone. Cela signifie donc que OB+OG est colinéaire à OA, qui fournit la direction de l’axe de symétrie. De même pour OC+OF et OD+OE qui sont deux vecteurs colinéaires à OA. La somme de tous ces vecteurs colinéaires à OA est donc un vecteur colinéaire à OA. Il faut prouver que cette somme n’est pas nulle et ne vaut pas OA. Intuitivement on pense que 0A+OB+OC+OD+OE+OG = 0 car O est le centre d’un polygone régulier. On a vu OB+OC+OD+OE+OF+OG colinéaire à OA et à fortiori OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG est aussi colinéaire à OA. On peut dire que OB est aussi un axe de symétrie pour le polygone. Cela signifie que OA+OC donne un vecteur colinéaire à OB, de même pour OD+OG et pour OE+OF. Ainsi la somme de ces vecteurs est colinéaire à OB et donc OB+OA+OC+OD+OG+OE+OF est colinéaire à OA et à OB. On obtient finalement OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG coliné

10)


a) est fausse car on a égalité des mesures (u,v) = (OA,OB) et peu importe la norme des vecteurs définissant l'angle. b) est vraie car les angles sont égaux. c) est fausse car (u,v) est une base du plan orienté mais elle n'est pas orthogonale sachant que l'on ne sait pas si (u,v) = pi/2 (pi). d) est fausse car la formule donne u.v = \|\|OA\|\|.\|\|OB\|\|.cos(u,v).

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