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Angles de vecteurs et fonctions circulaires (2)

1) Déterminer la ou les valeurs de x avec les informations suivantes :x appartient à ] – pi ;+pi] et sin x = 0.
il n’y a pas de solution	x = pi	x = pi / 2
x = pi ou x = - pi
sin pi = 0 et, compte tenu de l’intervalle considéré, x ne peut pas prendre la valeur – pi.

2) Déterminer la valeur de x avec les informations suivantes : x appartient à [ 0 ; 2 pi [ et sin x = -1/ 2.
x = 7pi / 6 ou 11 pi / 6	x = V2 / 2	il n’y a pas de solution
x = 1/ 2 ou x = -1 / 2
Il y a deux points du cercle trigonométrique dont l’ordonnée est –1 / 2. Les mesures correspondantes dans [ 0 ; 2 pi [ sont pi+pi / 6 et 2 pi – pi / 6. D’où : x = 7pi / 6 ou 11 pi / 6

3) Dans les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction définie sur R par :f (x) = sinx cos x.f est-elle périodique ?
oui, de période pi	oui, de période pi / 2	oui, de période pi / 3
non.
f (x+pi) = cos (x+pi) sin (x+pi) = (-cos x) (- sin x) = cos x sin x = f (x).

4) Etudier la parité de f.
f n’est ni paire ni paire ni impaire	f est paire	f est impaire
une fonction périodique n’ a pas de parité.
cos (-x) = cos x et sin (-x) = -sin x D’où f (-x) = - sin x cos x. f est donc impaire.

5) L’égalité suivante est-elle vraie ? Pour tout x de IR, f (pi / 2 – x) = f (x).
oui	non
Pour tout x de R, f (pi / 2 – x) = sin (pi / 2 – x) cos (pi / 2 – x) = cos x sin x = f (x)

6) Pour x = pi / 2, tan x….
est égal à O	n’existe pas	est égal à 1
est égal à pi / 4
tan x = sin x / cos x. tan x n’existe donc pas quand cos x = 0 (la multiplication par 0 est interdite). Comme cos (pi / 2) = 0, tan (pi / 2) n’existe pas.

7) Simplifier l’expression : A = cos x+cos (pi – x)+cos (pi+x)+cos (2 pi+x).
A = 0	A = sin x	A = 2 sin x
A = 2 cos x
On a, pour tout x de R, cos (pi – x) = sinx et cos (pi+x) = -sinx. En outre, cos (2 pi+x) = cos x. En remplaçant, dans A, ces termes par leurs valeurs, on obtient : A = cos x+sin x –sinx+cos x = 2 cos x.

8) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin 5x. Déterminer la période p de la fonction f.
p = 2 pi	p = 2 pi / 5	p = 5 pi
f n’est pas une fonction périodique.
En effet, pour tout x de R, on a : f(x+2 pi /5) = sin (5(x+2 pi / 5) = sin (5 x+2 pi) = sin (5x) = f (x).

9) Même exercice avec la fonction f définie sur IR par f(x) = cos 2x.
p = pi	p = pi / 2	p = 3 pi / 4
f n’est pas périodique.
f (x+pi) = cos (2 (x+pi)) = cos (2 x+2 pi) = cos 2x = f (x).

10)


cos ² x+sin ² x = 1 (d’après le cours). En divisant cette égalité des deux côtés par cos²x, on obtient : 1+(sin² x / cos² x) = 1 / cos²x. soit 1+tan ² x+1 / cos² x. (démonstration à savoir faire).

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