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Limites

1) Déterminer lim(+inf) x²-x+1
-inf	+inf	0
1
On a, pour tout x strictement positif, x²-x+1 = x²(1-1/x+1/x²) lim(+inf) 1/x = lim(+inf) 1/x² = 0 et lim(+inf) x² = +inf d'où lim(+inf) x²-x+1 = +inf

2) Déterminer lim(+inf) (3x^4+2x²)/(4x^4+8x³)
+inf	3/4	0
Pour tout x>0, (3x^4+2x²)/(4x^4+8x³) = 3/4.(1+2/3x²)/(1+2/x) D'où, comme lim(+inf) 1/x = lim(+inf) 1/x² = 0 lim(+inf) (3x^4+2x²)/(4x^4+8x³) = 0

3) lim(+inf) (1.01^n)/(0.9^2n) vaut :
+inf	0	1.01/0.9²
On a lim(+inf) 1.O1^n = +inf et lim(+inf) 0.9^2n = lim(+inf) (0.9²)^n = 0 et 0.9^2n>0 d'où lim(+inf) (1.01^n)/(0.9^2n = +inf

4) lim(+inf) (1+7^n)/(4+3^n) =
7/3	+inf	0
On a, pour tout entier naturel n : (1+7^n)/(4+3^n) = (7/3)^n.(1+1/7^n)/(1+4/3^n) Or, lim(+inf)1/7^n = lim(+inf)4/3^n=0 et lim(+inf) (7/3)^n = +inf D'où lim(+inf) (1+7^n)/(4+3^n) = +inf

5) Déterminer la limite en 0 de (cos(4x)-1)/4x
Votre réponse :
Posons y=4x On a : lim(0) (cosy-1)/y = 0 et lim(0)4x=0 D'où lim(0) (cos(4x)-1)/4x = 0

6) Déterminer la limite en 0 de (e(2x)-1)/2x
Votre réponse :
Posons y = 2x. On a lim(0) (e(y)-1)/y=1 et lim(0) 2x = 0 D'où lim(0) (e(2x)-1)/2x = 1

7) Déterminer la limite en 1 de lnx/(1-x)
Votre réponse :
On a : lim(1) lnx/(x-1)=1 D'où lim(1) lnx/(1-x) = -1

8) lim(-inf) tan(1/x²) =
0	+inf	-inf
lim(+inf) 1/x²=0 et lim(0) tanx = 0 (sachant que la fonction tan est continue en 0)

9) lim(-inf) sinx =
+inf	0	n'existe pas
Sin est une fonction périodique

10) Pour tout n>15, (n-3)/(n+7)< un <(n+3)/(n-2) Déterminer lim un
Votre réponse :
On a lim(+inf) (n-3)/(n+7)=lim(+inf) (n+3)/(n-2)=1 Le théorème d¿encadrement permet de conclure : lim un = 1.

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