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Trigonométrie

1) Que vaut cos 3x ?
3 cos ² x –1	cos³x –cos ² x+cos x	4 cos³x –3 cos x
(1-sin3x)/2
En effet cos 3x= cos (2x+x)=cos 2x cos x – sin 2x sin x =(1 – 2 sin² x) cos x –2 sin x cos x sin x = cos x – 2 sin² x cos x – 2 sin² x cos x =cos x – 4 sin² x cos x =cos x – 4 (1- cos ² x) cos x =cos x –4 cos x+4 cos³x = 4 cos³x – 3 cos x

2) Que vaut sin3x?
– 4 sin³x+3 sin x	cos³x – sin³x	3 cos³x – sin ² x+cos x
2 sin³x – 3 sin x
En effet sin 3 x =sin(2x+x) = sin 2x cos x+sin x cos 2x =(2 sin x cos x) cos x+sin x (2 cos ² x – 1) = 2 sin x cos ² x+2 sin x cos ² x – sin x = 4 sin x cos ² x – sin x = 4 sin x (1 – sin ² x) – sin x = 4 sin x – 4 sin³x – sin x =- 4 sin³x+3 sin x

3)


L’astuce consiste à reconnaître que 6°=36°-30° et en radians on a les valeurs des cos et des sin de pi/6 et de pi/5 (données par l’énoncé pour pi/5, connues pour pi/6)) Donc cos 6° = cos pi/30= cos (pi/5 –pi/6) = cos pi/5 cos pi/6 – sin pi/5 sin pi/6

4)


Il faut donc déterminer la valeur de AB=x pour avoir la valeur du périmètre. On va pour cela utiliser les formules d’Al Kashi ; donc BC²=AC²+AB ² - 2.AC.AB.cos BAC donc (V7 )²=(V3 )²+x² - 2V3.x.(-V3/7) donc 4=x²+2V3.V3/2x donc 4=x²+3x donc x²+3x-4=0. On calcule le discriminant delta = 25 donc x = 1 ou x = -4, ce qui n’est pas possible car une distance n’est pas négative. On obtient que x=1. Le périmètre vaut donc V7+V3+1, qui est proche de 5.37.

5)


Soit S l'aire du triangle ABC. Ona S= ½ AC.AB.sin BAC donc S= 1/2.V3.sin 5pi/6 donc S= V3/2. ½ = V3/4.

6) Résoudre les équations Si cosx = - ½, alors x = …
pi /3 (2pi)	–pi/3 (pi)	-2pi/3 (2pi)
2pi/3 (pi)
cos x = - ½ équivalent à x = 2pi/3 (2pi) ou x = -2pi/3 (2pi) donc seule la réponse c) convient car 2pi/3 (pi) signifie que pi pourrait être solution, ce qui est faux.

7) 2 sin3x+V3 = 0 ; x = …
5pi/9	– pi/9	16pi/9
28pi/9
2 sin 3x+V3 =0 équivalent à sin 3 x = -V3/2 équivalent à3x = - pi/3 (2pi) ou 3x =pi- (- pi/3) (2pi) équivalent àx = - pi/9 (2pi/3)ou x = 4pi/9 (2pi/3) Ainsi toutes ces expressions conviennent car 5pi/9 =-pi/9+2pi/3 -pi/9 est mesure principale 16 pi/9 = 4 pi/9+2 pi/3

8) sin x = cos2x ; x =…
7p/6	–p/2	p/3
–7p/6
sin x = cos 2 x équivalent à cos pi/2-x = cos 2x car sin x = cos pi/2 –x équivalent à pi/2–x = 2x(2pi) ou pi/2 –x = pi-2x [2pi] équivalent à 3x = pi/2 [2pi] ou x = pi/2 [2pi] équivalent à x = pi/6 [2pi/3] ou x = pi/2 [2p] ainsi les solutions sont –pi/2 = pi/6 – 2pi/3 et -7pi/3 = pi/6 - 2.2pi/3

9) On a cos a sin b = …
2cos((a+b)/2).sin((a+b)/2)	½ (cos (a+b)- cos (a-b))	½ (sin (a-b) –cos (a+b)
½ (sin (a+b)- sin (a-b))
On doit connaitre les formules de base comme sin (a+b) = sina cosb+sinb cosa et sin (a-b) = sin a cos b – sin b cos a On en déduit cos a sin b = ½ (sin (a+b) – sin (a-b))

10) cos (a+b) cos (a-b)=…
½ (cos 2a+cos 2b)	cos ²b- cos ²a	cos a.sin b.cos(a+b)/2)
cos²a- sin²b
En effet on peut déduire cos x cos y = ½ (cos (x+y)+cos (x-y)) Et donc en prenant x = a+b et y = a-b. on a donc cos (a+b) cos (a-b)= ½ (cos 2a+cos 2b)

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