Inégalités, inéquations et approximations
1 Rappels introductifs
Remarques préliminaires sur les inégalités
- Lorsque l’on ajoute deux inégalités dans le même sens, on obtient une inégalité de même sens que
les deux précédentes.
Si a £ b et c £ d alors
(a + c) £ (b + d)
- Lorsque l’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens et dont les termes sont positifs,
on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes
Si a , b, c et d positifs et a £ b et c £
d alors ac £ bd
Rappel sur le signe d’un produit et d’un quotient
- PRODUITS : Si deux expressions sont de même signe, leur produit est positif
Si deux expressions sont de signes contraires, leur produit est négatif
- QUOTIENTS : Si deux expressions sont de même signe, leur quotient est positif
Si deux expressions sont de signes contraires, leur quotient est négatif
Aide-mémoire :
- " + " x " + " = " + "
- " + " x " - " = " - "
- " - " x " - " = " + "
2 Les inégalités
CARRES
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
a ³ 0 et b ³ 0, si a
£ b alors a² £ b²
Remarque importante : soit a un nombre strictement positif.
- si a > 1, alors a2 > a
- si a < 1, alors a2 < a
RACINE CARREE
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.
a ³ 0 et b ³ 0, si a
£ b alors Va £ Vb
INVERSE
Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
a > 0 et b >> 0, si a < b alors 1/a > 1/b
3 Les intervalles
Soit a et b deux réels tels que a < b.
- L'intervalle [a ; b] représente l'ensemble des réels x tels que
a £ x £ b (intervalle fermé )
- L'intervalle ]a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a < x < b (intervalle ouvert)
- L'intervalle [a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a £ x < b
(intervalle semi-ouvert ou semi-fermé)
Remarque : Un intervalle peut être semi-ouvert ou semi-fermé à droite ou à gauche.
Les intervalles illimités
Soit b et c des réels quelconques
- L’intervalle [b ; +¥[ représente l’ensemble des réels tels
que x ³ b
- L’intervalle [-¥ ; c[ représente l’ensemble des réels tels
que x £ c
- L’intervalle ]-¥ ; +¥[ représente
l’ensemble des réels
A noter :
- R+ représente l’intervalle [0 ; +¥[
- R- représente l’intervalle ]-¥, 0]
- R représente l’intervalle ]-¥ ; +¥[
4 Les approximations
Définition : Soit x un nombre quelconque." Encadrer " x, c’est trouver deux réles a et b, avec a < b, tels
que l’on ait a £ x £ b. Le nombre (b – a) est appelé
l’amplitude de cet encadrement.
Vocabulaire : Si x £ a, on dit que x est majoré par a ( on parle aussi du majorant de x)
Si x ³ b on dit que x est minoré par b ( on parle aussi du minorant de x)
5 Approximations par excès, défaut et troncature
Approximation par excès
Soit a un réel strictement positif, x et E deux réels quelconques. On dit que E est une approximation par
excès de x "à a près" si on a :
E - a £ x £ E
Approximation par défaut
Soit b un réel strictement positif, x et D deux réles quelconques. On dit que D est une approximation par
défaut de x à " b près " si on a :
D £ x £ D + b
Approximation par troncature
Tronquer un réel à n décimales près consiste à l’approcher par défaut à 10-n près.
