Géométrie dans l'espace
1 Premières définitions
- Définition 1 : Un plan est défini par trois points non-alignés. Autrement dit, soit
trois points A, B et C non-alignés. Ces trois points définissent un plan que l'on appellera (ABC).
- Définition 2 : Si une droite (D) contient deux points A et B d'un plan (P), alors
cette droite est incluse dans ce plan.
- Définition 3 : soit A, B, et C trois points non-alignés st D un point quelconque
de l'espace. Les quatre points sont coplanaires si et seulement si D est u point du plan défini par
(ABC).
- Définition 4 : soit (P) et (P') deux plans distincts. Si ces deux plans ont un point en
commun, alors leur intersection est une droite qui passe par ce point.
2 Parallélisme de droites et de plans
- Parallélisme entre deux plans : soit deux plans (P) et (P'). Si ces deux plans sont parallèles,
ils sont soit confondus, soit il n'ont aucun point commun.
- Parallélisme entre deux droites : soit deux droites (d) et (d'). Si ces deux droites sont
parallèles, elles sont soit confondues, soit coplanaires ( càd appartenant au même plan) et sans
point commun.
- Parallélisme entre un plan et une droite : soit (d) une droite et (P) un plan. Si (d) et (P)
sont parallèles, alors soit (d) est contenue dans (P), soit (d) et (p) n'ont aucun point commun.
- Projection sur un plan parallèlement à une droite : Soit (P) un plan, (d) une droite qui coupe le
plan (P) et A un point de l'espace. Ainsi, la droite parallèle à (d) passant par le point A coupe le
plan (P) en b. On dit alors que le point b est le projeté de A sur le plan P parallèlement à la droite
(d).
Des deux premières définitions, il est possible de tirer quatre conséquences :
- Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre.
- Si deux plans (P) et (P') sont parallèles, alors tout plan qui coupe (P) coupe également (P')
et leurs intersections sont des droites parallèles.
- Si deux droites (resp. deux plans) sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles
entre elles (resp. les deux plans sont parallèles entre eux).
Soit A un point quelconque de l'espace. Il passe :
- une seule droite parallèle à une droite donnée.
- un seul plan par rapport à un plan donné.
De même, de la dernière définition, il est possible se tirer trois conséquences :
- Soit (d) une droite contenue dans un plan (P). Si (d) est parallèle à une droite (d'),
alors la droite (d') est parallèle au plan (P).
- Si une droite (d) est parallèle à deux plans (P) et (P') qui sont sécants, alors la droite
(d'), intersection des deux plans, est parallèle à (d).
- Soit (P) un plan défini par deux droites sécantes. Si ces deux droites sont parallèles à un plan
(P'), alors (P) est parallèle à (P').
3 Orthogonalité de droites et de plans
Droites orthogonales :
Dans l'espace, on parle de droites orthogonales lorsque l'on peut trouver un point A tel que les
parallèles à ces droites passant par A sont perpendiculaires.
Remarque : deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires ( elles ne sont
pas obligées d'appartenir au même plan et donc de se croiser).
Droites orthogonales à un plan :
Soit (d) une droite et (P) un plan. (d) est orthogonale à (P) si elle est orthogonales à toutes
les droites contenues dans ce plan.
3 conséquences :
- pour qu'une droite (d) soit parallèle à un plan (P), il suffit qu'elle soit orthogonale
à deux droites sécantes de (P).
- il existe une unique droite passant par un point donné et orthogonale à un plan donné.
- il existe un unique plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée.
4 Orthogonalité et parallélisme de droites et de plans
- Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, ils sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles entre eux, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
- Si deux droites sont parallèles, tout plan à l'une est orthogonal à l'autre.
- Si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont parallèles entre elles.
5 Plan médiateur et projeté orthogonal d'un point
Définition : Soit un segment [BC] et O son milieu. On appelle plan médiateur de [BC] le
plan passant par O et orthogonal à la droite (BC).
Remarque : Si un point M appartient au plan médiateur de [BC], alors on a BM = CM.
Définition : Soit B un point et (P) un plan ne contenant pas B. On appelle b le point
appartenant au plan (P) tel que la droite (Bb) soit orthogonale au plan (P). b est alors appelé le projeté
orthogonal du point B sur le plan (P).
