Soit I un intervalle ou une réunion d'intervalle de R.
Définir une fonction f de I dans R, c'est associer à chaque réel x de I au plus un réel de R noté f(x).
I est alors l'ensemble de définition de f : on dit que f est définie sur I
f(x) est ainsi un réel qui est l'image de x par f.
Le graphique qui réunit tous les points M de coordonnées ( x, f(x) ) où x décrit l'ensemble de définition I de f est la courbe représentative de f dans un plan. L'ensemble des x décrit l'ensemble de définition de f. On a l'habitude de le noter I ou D.
Soit une fonction f définie sur un intervalle I, soit a et b deux éléments de I tels que a < b.
Remarque : la distinction entre inégalité stricte et large est fondamentale ici pour bien distinguer une fonction croissante (ou décroissante) d’une fonction strictement croissante (ou décroissante). En effet, une fonction croissante et non strictement croissante peut être constante.
Conclusion : étudier le sens de variation d’une fonction, c’est donc déterminer, lorsqu’ils existent, les plus grands intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante.
Soit une fonction définie sur un intervalle J . f est monotone sur J si et seulement si f est croissante ou décroissante sur J en entier.
Le tableau de variation d’une fonction rassemble les données et les propriétés d’une fonction. En particulier, il fait apparaître
Soit f une fonction définie sur [-4 ; 4], paire, croissante sur [-4 ; 4], avec f(0) = 6 et f(-4) = f(4) = -1
On va résumer l’ensemble de ces informations dans le tableau de variation de f
Définition : une fonction est paire si et seulement si :
Représentation graphique : la courbe représentative d'une fonction paire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple d'une fonction paire : la fonction valeur absolue que l'on notera f
Définition : une fonction est impaire si et seulement si :
Représentation graphique : la courbe représentative d'une fonction impaire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère du plan.
Exemple d'une fonction impaire : la fonction g définie sur J = [ -5 ; 5 ] par g(x) = x^3 - x
Définition : soit f une fonction dont l'ensemble de définition est D et I un intervalle de D.