Développer une expression, c'est chercher à obtenir une écriture sans parenthèses. Pour cela, on peut avoir recours aux identités remarquables.
La factorisation est le contraire du développement : c'est écrire une expression sous la forme d'un produit de facteurs. Les identités remarquables sont là aussi d'une grande utilité.
De plus, pour factoriser une expression écrite sous la forme d'une somme de plusieurs termes, on peut commencer par identifier un facteur commun à tous les termes.
A connaître par coeur
Définition : b etant un nombre quelconque et n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2, la puissance n-ième de b est le nombre bn défini par:
Remarques :
soit a et b deux réels non nuls, n et p deux entiers naturels, on a :
IMPORTANT : tout nombre positif b peut s'écrire sous la forme b = a x 10p, où a est un nombre vérifiant 1 <= a < 10 et p est un nombre entier relatif. Cette notation s'appelle la notation scientifique.
Définition : a désignant un nombre positif ou nul, il existe un nombre x positif ou nul tel que x2 = a . x est appelé racine carrée de a, et on note Va .
Remarque : on peut alors écrire pour tout nombre a positif ou nul : (Va)2 = a
a et b étant 2 nombres positifs, on a :
A étant un nombre positif, n un entier, on a :
Définition : soit a un nombre non nul, et b un nombre quelconque.
On appelle équation du premier degré à une inconnue une équation qui peut s’écrire sous la forme : ax + b = 0
Remarque : un nombre x0 est solution de cette équation si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’égalité ax0 + b = 0 est vraie. Résoudre l’équation, c’est donc trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.
On a ax + b = 0 :
L’expression ax + b où a est un nombre non nul et b un nombre quelconque :
Définition : on appelle inéquation du premier degré à une inconnue x une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des 4 formes suivantes :
Remarque : un nombre x0 est une soulution de l’inéquation ax + b > 0 si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’inégalité ax0 + b > 0 est vraie. Résoudre l’inéquation ax + b > 0, c’est trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.
Remarque préliminaire : AB = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
D’après la remarque précédente, pour résoudre l’équation (2x + 10)(x – 3 ) = 0, il faut résoudre chacune des équations 2x + 10 = 0 et x – 3 = 0. Les solutions de cette équation sont donc x = 3 et x = -5.
a étant un réel strictement positif donné, l’équation x2 = a admet 2 solutions qui sont :
Démonstration : x2 = a <-> x2 - (Va)2 = 0 <-> (x – Va)(x + Va) = 0 (identités remarquables)